Qu'est-ce qu'une fonction en maths ?
Une fonction associe à un nombre (l'antécédent) exactement un seul nombre (l'image). On note $f(x)$ l'image de $x$ par la fonction $f$.
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Maths
Rappel espacé
Questions & réponses
Si $f(3) = 7$, que vaut l'image de 3 par $f$ ?
7
Si $f(3) = 7$, quel est l'antécédent de 7 par $f$ ?
3
Forme générale d'une fonction linéaire ?
$f(x) = ax$
Forme générale d'une fonction affine ?
$f(x) = ax + b$
Que représente le coefficient directeur $a$ dans $f(x) = ax + b$ ?
Il indique la pente de la droite : - $a > 0$ → droite croissante (monte) - $a < 0$ → droite décroissante (descend) - $a = 0$ → droite horizontale (fonction constante)
Que représente b dans $f(x) = ax + b$ ?
C'est l'ordonnée à l'origine : le point où la droite coupe l'axe des ordonnées. Graphiquement : la droite passe par le point $(0\,;\,b)$.
La représentation graphique d'une fonction affine est…
Une droite
Formule pour calculer le coefficient directeur $a$ à partir de deux points $A(xA\,;\,yA)$ et $B(xB\,;\,yB)$ ?
$a = \dfrac{yB - yA}{xB - xA}$
Comment trouver b quand on connaît $a$ et un point de la droite ?
On remplace $x$ et $f(x)$ par les coordonnées du point : $f(x) = ax + b$ $\Rightarrow b = f(x) - ax$ Exemple : $a = 2$, la droite passe par $(3\,;\,11)$ $b = 11 - 2 \times 3 = 5$ Donc $f(x) = 2x + 5$.
Comment lire l'image d'un nombre sur un graphique ?
1. Repérer $x$ sur l'axe horizontal 2. Monter (ou descendre) verticalement jusqu'à la courbe 3. Lire la valeur en face sur l'axe vertical → c'est $f(x)$
Comment lire l'antécédent d'un nombre sur un graphique ?
1. Repérer la valeur sur l'axe vertical (axe des ordonnées) 2. Tracer une horizontale jusqu'à la courbe 3. Descendre verticalement et lire sur l'axe horizontal → c'est l'antécédent
Quel type de fonction traduit une situation de proportionnalité ?
Une fonction linéaire : $f(x) = ax$
Combien de façons de représenter une fonction ?
3
Comment tracer la droite d'une fonction affine $f(x) = ax + b$ ?
Il suffit de 2 points : 1. Commencer par $x = 0$ → $f(0) = b$ → point $(0\,;\,b)$ 2. Choisir un autre $x$ et calculer $f(x)$ 3. Placer les 2 points et tracer la droite
Qu'est-ce qu'une fonction constante ?
$f(x) = b$ (droite horizontale)
Comment lire graphiquement le coefficient directeur $a$ ?
On prend deux points de la droite et on lit : $a = \dfrac{\text{déplacement vertical}}{\text{déplacement horizontal}}$ Si on avance de 1 en $x$ et qu'on monte de 3 → $a = 3$.
Comment lire graphiquement l'ordonnée à l'origine $b$ ?
C'est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe vertical
Piège : « $f(x) = 3x$ est-elle affine ou linéaire ? »
Elle est les deux ! C'est une fonction linéaire ($f(x) = ax$ avec $a = 3$), et toute fonction linéaire est aussi affine (avec $b = 0$).
Comment vérifier si un point $A(xA\,;\,yA)$ appartient à la courbe de $f$ ?
On calcule $f(x_A)$ : - Si $f(xA) = yA$ → le point appartient à la courbe - Si $f(xA) \neq yA$ → le point n'appartient pas à la courbe
Dans un problème de tarifs, comment modéliser un coût fixe + coût variable ?
Avec une fonction affine : $f(x) = ax + b$ - $b$ = coût fixe (abonnement, forfait) - $a$ = coût par unité (prix par ticket, par km…) - $x$ = nombre d'unités
Comment trouver le nombre d'unités où deux tarifs sont équivalents ?
On égalise les deux fonctions et on résout l'équation. Exemple : Tarif A = $2x + 10$, Tarif B = $4x$ $2x + 10 = 4x$ $10 = 2x$ $x = 5$ Les deux tarifs sont égaux pour 5 unités.
Piège : peut-on avoir plusieurs antécédents pour une même image ?
Oui, si la courbe n'est pas une droite
Calcule $f(3)$ si $f(x) = 4x - 2$.
$f(3) = 10$
Si $a > 0$ dans $f(x) = ax + b$, la fonction est…
Croissante
Comment trouver où une droite coupe l'axe des abscisses ?
On résout $f(x) = 0$
Sur un graphique, comment savoir pour quelles valeurs de $x$ on a $f(x) > g(x)$ ?
On regarde la zone où la courbe de $f$ est au-dessus de la courbe de $g$. On lit les valeurs de $x$ correspondantes sur l'axe horizontal.
Comment trouver a et b d'une fonction affine $f(x) = ax + b$ à partir de son graphique ?
1. b = là où la droite coupe l'axe vertical (ordonnée à l'origine) 2. a = on prend 2 points sur la droite et on calcule $a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$