Qu'est-ce qu'une isométrie ?
Transformation qui conserve les longueurs
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Maths
Rappel espacé
Questions & réponses
Qu'est-ce qu'une symétrie axiale ?
Transformation par rapport à une droite $(d)$. M' est l'image de M si $(d)$ est la médiatrice de $[MM']$ : - $(MM') \perp (d)$ - Le milieu de $[MM']$ est sur $(d)$
Qu'est-ce qu'une symétrie centrale ?
Un demi-tour autour d'un point O
À quelle transformation correspond une rotation de 180° ?
Une symétrie centrale
Définition de la translation
Transformation qui glisse tous les points dans la même direction, le même sens et la même distance. Tous les segments $[MM']$ reliant un point à son image sont parallèles et de même longueur.
Par quoi est définie une translation ?
Une direction, un sens et une longueur
Définition de la rotation de centre A, d'angle $\alpha$ et de sens donné
Transformation définie par 3 éléments : un centre, un angle et un sens. Elle associe à tout point M le point M' tel que : - $AM = AM'$ (même distance au centre) - $\widehat{MAM'} = \alpha$ - Le sens est respecté (horaire ou anti-horaire)
Qu'est-ce qu'une homothétie ?
Transformation de centre O et de rapport $k$ qui à tout point M associe M' tel que : - O, M et M' sont alignés - $OM' = |k| \times OM$ Elle agrandit ($|k| > 1$) ou réduit ($|k| < 1$) une figure.
Par quoi est définie une homothétie ?
Un centre O et un rapport $k$
Si $|k| > 1$, l'homothétie est un...
Agrandissement
Si $0 < |k| < 1$, l'homothétie est une...
Réduction
Dans une homothétie de rapport $k$, comment changent les longueurs ?
Multipliées par $|k|$
Dans une homothétie de rapport $k$, comment changent les aires ?
Multipliées par $k^2$
Dans une homothétie de rapport $k$, comment changent les volumes ?
Multipliés par $|k|^3$
L'homothétie est-elle une isométrie ?
Non (sauf si $k = 1$ ou $k = -1$)
Que conserve une isométrie ?
Tout : longueurs, angles, aires, parallélisme
Que conserve une homothétie ?
Conserve : - Angles - Alignement - Parallélisme Ne conserve PAS : - Longueurs ($\times |k|$) - Aires ($\times k^2$) - Volumes ($\times |k|^3$)
Comment construire l'image d'un point M par symétrie axiale d'axe $(d)$ ?
1. Tracer la perpendiculaire à $(d)$ passant par M 2. Elle coupe $(d)$ en H 3. Reporter $HM' = HM$ de l'autre côté Vérification : H est le milieu de $[MM']$
Comment construire l'image d'un point M par symétrie centrale de centre O ?
1. Tracer la droite $(OM)$ 2. Prolonger au-delà de O 3. Reporter $OM' = OM$ de l'autre côté de O Vérification : O est le milieu de $[MM']$
Comment construire l'image d'un point M par translation ?
Reporter le même déplacement (direction + sens + longueur) à partir de M. Sur un quadrillage : compter les carreaux horizontaux et verticaux. Vérification : tous les segments $[MM']$ sont parallèles et de même longueur.
Comment construire l'image d'un point M par rotation de centre A, d'angle $\alpha$ ?
1. Tracer le cercle de centre A passant par M 2. Avec un rapporteur, mesurer l'angle $\alpha$ depuis $[AM)$ dans le sens indiqué 3. M' est sur le cercle, à l'angle $\alpha$ de M
Comment construire l'image d'un point M par homothétie de centre O et de rapport $k$ ?
1. Tracer la demi-droite $[OM)$ 2. Mesurer $OM$ 3. Reporter $OM' = |k| \times OM$ : - Même sens que M si $k > 0$ - Sens opposé si $k < 0$
Si $k > 0$ dans une homothétie, où se trouve M' par rapport à O et M ?
M' est du même côté que M par rapport à O
Si $k < 0$ dans une homothétie, où se trouve M' par rapport à O et M ?
M' est de l'autre côté de O (sens opposé)
Comment reconnaître qu'une figure est l'image d'une autre par translation ?
Les deux figures sont : - Superposables (même forme, même taille) - Orientées dans le même sens - Tous les segments $[MM']$ reliant points correspondants sont parallèles et de même longueur
Comment reconnaître une symétrie axiale sur une figure ?
La figure se replie parfaitement sur l'axe
Par rapport à quel élément géométrique s'effectue une symétrie axiale ?
Par rapport à une droite (axe)
On agrandit un rectangle de $3 \text{ cm} \times 5 \text{ cm}$ par homothétie de rapport $k = 2$. Quelle est l'aire de l'image ?
$60 \text{ cm}^2$
Un cube de côté 4 cm est réduit par homothétie de rapport $k = 0{,}5$. Quel est le volume de l'image ?
$8 \text{ cm}^3$
Comment trouver le centre d'homothétie entre deux figures semblables ?
Relier les sommets correspondants par des droites. Toutes ces droites se coupent en un même point : c'est le centre O.
L'image d'une droite par homothétie est-elle parallèle à la droite de départ ?
Oui, toujours
Une homothétie conserve-t-elle les angles ?
Oui
Quelle transformation du plan ne conserve pas les longueurs ?
L'homothétie (si $k \neq 1$ et $k \neq -1$)
Comment prouver que ABCD est un parallélogramme avec une translation ?
Montrer que D est l'image de A par la translation qui transforme B en C. Cela prouve que $(AD) \parallel (BC)$ et $AD = BC$. Donc ABCD est un parallélogramme.
Quelle homothétie est équivalente à une symétrie centrale ?
Homothétie de rapport $k = -1$
Quel est le rapport d'homothétie si l'aire de l'image vaut 9 fois l'aire de départ ?
$|k| = 3$
L'image d'un cercle de rayon $r$ par une homothétie de rapport $k$ est...
Un cercle de rayon $|k| \times r$
Combien d'axes de symétrie possède un carré ?
4
Combien d'axes de symétrie possède un triangle équilatéral ?
3
Combien d'axes de symétrie possède un rectangle (non carré) ?
2