[{"data":1,"prerenderedAt":313},["ShallowReactive",2],{"deck:nombres-calcul":3},{"deck":4,"reason":311,"status":312},{"id":5,"stem":6,"matiere":7,"name":8,"punchline":9,"deckStatus":10,"customMessages":11,"cards":20},"nombres-calcul","decks/nombres-calcul","maths","Nombres et Calcul","C'est carré","publié",{"low":12,"medium":14,"high":17},[13],"Puissances et exposants, on reprend calmement.",[15,16],"Tu décomposes et factorises","La notation scientifique, ça rentre.",[18,19],"Les identités t'obéissent","Le calcul littéral, les yeux fermés.",[21,30,36,42,49,56,63,70,76,87,93,103,113,120,127,133,139,147,153,159,166,172,177,182,188,194,200,211,217,223,229,235,241,247,253,260,266,272,278,285,291,297,303],{"id":22,"tags":23,"question":26,"quick_answer":27,"details":28,"difficulty":29},"cl-001",[7,5,24,25],"calcul-litteral","identites-remarquables","Développe : $(a + b)^2$","$a^2 + 2ab + b^2$","**Identité remarquable** à connaître par coeur !\n\nPiège classique : $(a+b)^2 \\neq a^2 + b^2$",2,{"id":31,"tags":32,"question":33,"quick_answer":34,"details":35,"difficulty":29},"cl-002",[7,5,24,25],"Développe : $(a - b)^2$","$a^2 - 2ab + b^2$","**Identité remarquable** à connaître par coeur !\n\nAttention au signe **moins** devant $2ab$",{"id":37,"tags":38,"question":39,"quick_answer":40,"details":41,"difficulty":29},"cl-003",[7,5,24,25],"Développe : $(a + b)(a - b)$","$a^2 - b^2$","**Différence de deux carrés**\n\nAstuce : les termes en $ab$ s'annulent !",{"id":43,"tags":44,"question":45,"quick_answer":46,"details":47,"difficulty":48},"cl-004",[7,5,24],"Formule de la **distributivité simple** :\n\n$k(a + b) = ?$","$ka + kb$","Fonctionne aussi avec un moins : $k(a - b) = ka - kb$\n\nC'est la base de tout développement et de toute factorisation.",1,{"id":50,"tags":51,"question":52,"quick_answer":53,"details":54,"difficulty":55},"cl-005",[7,5,24],"Formule de la **double distributivité** :\n\n$(a + b)(c + d) = ?$","$ac + ad + bc + bd$","On multiplie **chaque terme** du premier facteur par **chaque terme** du second.\n\nAstuce : penser aux flèches croisées.",3,{"id":57,"tags":58,"question":60,"quick_answer":61,"details":62,"difficulty":55},"cl-006",[7,5,24,59],"factorisation","Comment **factoriser** l'expression $ka + kb$ ?","$k(a + b)$","C'est l'opération inverse du développement.\n\nRepérer le **facteur commun** à chaque terme, puis le mettre devant la parenthèse.\n\nExemple : $3x + 6 = 3(x + 2)$",{"id":64,"tags":65,"question":66,"answer":67,"details":68,"difficulty":69},"cl-007",[7,5,24,25],"Comment **reconnaître** qu'on peut factoriser avec $(a + b)^2$ ?","L'expression doit être de la forme :\n\n$a^2 + 2ab + b^2$\n\n- Deux **carrés parfaits** ($a^2$ et $b^2$)\n- Le **double produit** $2ab$ au milieu","Exemple : $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$\n\nVérification : $a = x$, $b = 3$, double produit $= 2 \\times x \\times 3 = 6x$ ✓",4,{"id":71,"tags":72,"question":73,"answer":74,"details":75,"difficulty":55},"cl-008",[7,5,24,25],"Comment **reconnaître** qu'on peut factoriser avec $a^2 - b^2$ ?","L'expression est une **différence de deux carrés parfaits** :\n\n$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$","Exemple : $x^2 - 16 = (x + 4)(x - 4)$\n\nCar $16 = 4^2$\n\nAttention : $a^2 + b^2$ n'est **pas** factorisable avec une identité remarquable.",{"id":77,"tags":78,"question":80,"answer":81,"details":82,"difficulty":29,"customSuccess":83,"customFail":85},"cl-009",[7,5,24,79],"equations","Qu'est-ce que la **propriété du produit nul** ?","Un produit de facteurs est nul **si et seulement si** l'un au moins de ses facteurs est nul.\n\n$A \\times B = 0 \\iff A = 0$ ou $B = 0$","C'est la clé pour résoudre les **équations produit-nul**.\n\nExemple : si $(2x + 1)(x - 3) = 0$, alors $2x + 1 = 0$ ou $x - 3 = 0$",[84],"Produit nul, c'est clean",[86],"Produit = 0 → un facteur = 0",{"id":88,"tags":89,"question":90,"answer":91,"details":92,"difficulty":69},"cl-010",[7,5,24,79],"Résous : $(2x + 1)(x - 3) = 0$","Par la propriété du produit nul :\n\n$2x + 1 = 0$ → $x = -\\frac{1}{2}$\n\nou\n\n$x - 3 = 0$ → $x = 3$\n\n**Deux solutions** : $x = -\\frac{1}{2}$ ou $x = 3$","Méthode :\n1. Écrire l'équation sous forme factorisée $A \\times B = 0$\n2. Résoudre $A = 0$ et $B = 0$ séparément\n3. Donner les deux solutions",{"id":94,"tags":95,"question":96,"answer":97,"details":98,"difficulty":29,"customSuccess":99,"customFail":101},"cl-011",[7,5,24,79],"Comment résoudre une équation du **premier degré** $ax + b = 0$ ?","$ax + b = 0$\n\n$ax = -b$\n\n$x = -\\frac{b}{a}$ (avec $a \\neq 0$)","Principe : isoler $x$ en effectuant les **opérations inverses** de chaque côté.\n\nExemple : $3x - 7 = 0 \\implies 3x = 7 \\implies x = \\frac{7}{3}$",[100],"Équation du 1er degré, basique",[102],"Isole x : opérations inverses des deux côtés",{"id":104,"tags":105,"question":106,"answer":107,"details":108,"difficulty":29,"customSuccess":109,"customFail":111},"cl-012",[7,5,24,25],"Piège classique : $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ ?","**NON !**\n\n$(a + b)^2 = a^2 + \\mathbf{2ab} + b^2$\n\nIl manque le **double produit** $2ab$","Vérification rapide avec des nombres : $(3 + 2)^2 = 25$ mais $3^2 + 2^2 = 13$\n\nUne des erreurs les plus fréquentes en calcul littéral.",[110],"Tu ne tomberas pas dans le piège",[112],"N'oublie JAMAIS le 2ab",{"id":114,"tags":115,"question":117,"answer":118,"details":119,"difficulty":29},"cl-013",[7,5,116],"puissances","Piège : quelle différence entre $(-3)^2$ et $-3^2$ ?","- $(-3)^2 = (-3) \\times (-3) = \\mathbf{9}$\n- $-3^2 = -(3 \\times 3) = \\mathbf{-9}$","Les **parenthèses** changent tout :\n- $(-3)^2$ : on élève $-3$ au carré → positif\n- $-3^2$ : on élève $3$ au carré, puis on met le $-$ → négatif",{"id":121,"tags":122,"question":123,"answer":124,"details":125,"difficulty":126},"cl-014",[7,5,24,59],"Comment factoriser $3x^2 - 12$ ?","En **deux étapes** :\n\n1. **Facteur commun** : $3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4)$\n2. **Identité** $a^2 - b^2$ : $= 3(x + 2)(x - 2)$","Il faut souvent combiner les techniques :\n- D'abord mettre en facteur commun\n- Puis reconnaître une identité remarquable dans la parenthèse",5,{"id":128,"tags":129,"question":130,"quick_answer":131,"details":132,"difficulty":48},"cl-015",[7,5,24],"Comment **réduire** l'expression $5x + 3x - 2x$ ?","$6x$","Regrouper les **termes de même nature** (même lettre, même exposant) :\n$(5 + 3 - 2)x = 6x$\n\nExemple plus complexe : $x^2 + 3x - x^2 + 5 = 3x + 5$\n(les $x^2$ s'annulent)",{"id":134,"tags":135,"question":136,"quick_answer":137,"details":138,"difficulty":29},"cl-016",[7,5,24],"Calcule la **valeur numérique** de $2x^2 - 3x + 1$ pour $x = 3$.","$10$","Remplacer $x$ par $3$ et calculer :\n$2 \\times 3^2 - 3 \\times 3 + 1 = 2 \\times 9 - 9 + 1 = 18 - 9 + 1 = 10$\n\nAttention à bien respecter les **priorités opératoires** (puissances avant multiplications).",{"id":140,"tags":141,"question":144,"answer":145,"details":146,"difficulty":48},"np-001",[7,5,142,143],"arithmetique","nombres-premiers","Qu'est-ce qu'un **nombre premier** ?","Un nombre qui n'a que **deux diviseurs** : 1 et lui-même.","Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13...\n\n**Attention** : 1 n'est PAS premier (un seul diviseur).\n\n2 est le seul nombre premier pair.",{"id":148,"tags":149,"question":150,"quick_answer":151,"details":152,"difficulty":48},"np-002",[7,5,142,143],"Piège : **1** est-il un nombre premier ?","Non","Un nombre premier a **exactement 2 diviseurs** (1 et lui-même).\n\n1 n'a qu'**un seul diviseur** (lui-même). Il n'est donc pas premier.\n\n0 n'est pas premier non plus.",{"id":154,"tags":155,"question":156,"answer":157,"details":158,"difficulty":69},"np-003",[7,5,142,143],"Comment vérifier si un nombre est **premier** ?","Tester la divisibilité par tous les nombres premiers **jusqu'à sa racine carrée**.\n\nSi aucun ne divise le nombre → il est premier.","Exemple : 37 est-il premier ?\n$\\sqrt{37} \\approx 6{,}1$ → tester 2, 3, 5\n- 37 n'est pas pair ✓\n- $3 + 7 = 10$, pas divisible par 3 ✓\n- Ne finit pas par 0 ou 5 ✓\n→ 37 est premier",{"id":160,"tags":161,"question":163,"answer":164,"details":165,"difficulty":29},"np-004",[7,5,142,162],"divisibilite","Critère de divisibilité par **3** ?","La **somme des chiffres** est divisible par 3.","Exemple : 234 → $2 + 3 + 4 = 9$ → divisible par 3 ✓\n\nContre-exemple : 253 → $2 + 5 + 3 = 10$ → pas divisible par 3 ✗",{"id":167,"tags":168,"question":169,"answer":170,"details":171,"difficulty":29},"np-005",[7,5,142,162],"Critère de divisibilité par **9** ?","La **somme des chiffres** est divisible par 9.","Exemple : 738 → $7 + 3 + 8 = 18$ → divisible par 9 ✓\n\nAstuce : si divisible par 9, alors aussi divisible par 3 (car $9 = 3 \\times 3$). Mais l'inverse est faux.",{"id":173,"tags":174,"question":175,"quick_answer":176,"difficulty":48},"np-009",[7,5,142,162],"Critère de divisibilité par **2** ?","Le nombre est pair (finit par 0, 2, 4, 6 ou 8)",{"id":178,"tags":179,"question":180,"quick_answer":181,"difficulty":48},"np-010",[7,5,142,162],"Critère de divisibilité par **5** ?","Le chiffre des unités est 0 ou 5",{"id":183,"tags":184,"question":185,"quick_answer":186,"details":187,"difficulty":48},"np-011",[7,5,142,162],"Critère de divisibilité par **10** ?","Le chiffre des unités est 0","Divisible par 10 = divisible par 2 **et** par 5 en même temps.",{"id":189,"tags":190,"question":191,"answer":192,"details":193,"difficulty":29},"np-006",[7,5,142,143],"Qu'est-ce que la **décomposition en facteurs premiers** ?","Écrire un nombre comme un **produit de nombres premiers**.\n\nTout entier $> 1$ peut s'écrire de manière unique comme un produit de premiers.","Exemple : $60 = 2^2 \\times 3 \\times 5$\n\nOn utilise les exposants pour les facteurs qui se répètent.",{"id":195,"tags":196,"question":197,"answer":198,"details":199,"difficulty":55},"np-007",[7,5,142,143],"Comment **décomposer** un nombre en facteurs premiers ?","Diviser successivement par les nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11...) jusqu'à obtenir 1.","Exemple avec 180 :\n$180 \\div 2 = 90$\n$90 \\div 2 = 45$\n$45 \\div 3 = 15$\n$15 \\div 3 = 5$\n$5 \\div 5 = 1$\n\nDonc $180 = 2^2 \\times 3^2 \\times 5$",{"id":201,"tags":202,"question":204,"answer":205,"details":206,"difficulty":55,"customSuccess":207,"customFail":209},"np-008",[7,5,142,203],"fractions","Comment rendre une **fraction irréductible** avec la décomposition en facteurs premiers ?","1. Décomposer numérateur et dénominateur en facteurs premiers\n2. **Simplifier** les facteurs communs","Exemple : $\\frac{60}{84}$\n$60 = 2^2 \\times 3 \\times 5$\n$84 = 2^2 \\times 3 \\times 7$\nOn simplifie par $2^2 \\times 3 = 12$ :\n$\\frac{60}{84} = \\frac{5}{7}$",[208],"Fraction irréductible, validé",[210],"Décompose en haut et en bas, puis simplifie",{"id":212,"tags":213,"question":214,"quick_answer":215,"details":216,"difficulty":48},"pu-001",[7,5,116],"Comment multiplier deux puissances de même base ?\n\n$a^n \\times a^m = ?$","$a^{n+m}$","On **additionne** les exposants.\n\nExemple : $10^3 \\times 10^2 = 10^5$",{"id":218,"tags":219,"question":220,"quick_answer":221,"details":222,"difficulty":48},"pu-002",[7,5,116],"Comment diviser deux puissances de même base ?\n\n$\\frac{a^n}{a^m} = ?$","$a^{n-m}$","On **soustrait** les exposants.\n\nExemple : $\\frac{10^7}{10^3} = 10^4$",{"id":224,"tags":225,"question":226,"quick_answer":227,"details":228,"difficulty":29},"pu-003",[7,5,116],"Puissance d'une puissance :\n\n$(a^n)^m = ?$","$a^{n \\times m}$","On **multiplie** les exposants.\n\nExemple : $(10^3)^2 = 10^6$\n\nAttention à ne pas confondre avec $a^n \\times a^m = a^{n+m}$ (addition !)",{"id":230,"tags":231,"question":232,"quick_answer":233,"details":234,"difficulty":48},"pu-004",[7,5,116],"Que vaut $a^0$ (pour $a \\neq 0$) ?","$1$","Peu importe la base : $5^0 = 1$, $(-3)^0 = 1$, $10^0 = 1$\n\nJustification : $\\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0 = 1$",{"id":236,"tags":237,"question":238,"quick_answer":239,"details":240,"difficulty":29},"pu-005",[7,5,116],"Que signifie un **exposant négatif** ?\n\n$a^{-n} = ?$","$\\frac{1}{a^n}$","L'exposant négatif transforme en **inverse** :\n\n$10^{-3} = \\frac{1}{10^3} = \\frac{1}{1000} = 0{,}001$\n\n$2^{-1} = \\frac{1}{2} = 0{,}5$",{"id":242,"tags":243,"question":244,"quick_answer":245,"details":246,"difficulty":29},"pu-006",[7,5,116],"Puissance d'un produit :\n\n$(a \\times b)^n = ?$","$a^n \\times b^n$","L'exposant se distribue sur chaque facteur.\n\nExemple : $(2 \\times 5)^3 = 2^3 \\times 5^3 = 8 \\times 125 = 1000$\n\n**Attention** : $(a + b)^n \\neq a^n + b^n$ — ça ne marche PAS avec l'addition !",{"id":248,"tags":249,"question":250,"quick_answer":251,"details":252,"difficulty":29},"pu-007",[7,5,116],"Puissance d'un quotient :\n\n$\\left(\\frac{a}{b}\\right)^n = ?$","$\\frac{a^n}{b^n}$","L'exposant se distribue sur le numérateur et le dénominateur.\n\nExemple : $\\left(\\frac{3}{5}\\right)^2 = \\frac{3^2}{5^2} = \\frac{9}{25}$",{"id":254,"tags":255,"question":257,"answer":258,"details":259,"difficulty":29},"pu-008",[7,5,116,256],"notation-scientifique","Qu'est-ce que la **notation scientifique** d'un nombre ?","L'écriture sous la forme $a \\times 10^n$ où :\n\n- $1 \\leq a \u003C 10$ (un seul chiffre avant la virgule, **non nul**)\n- $n$ est un entier relatif","Exemples :\n- $3 \\times 10^8$ ✓ (vitesse de la lumière en m/s, valeur arrondie)\n- $6{,}02 \\times 10^{23}$ ✓ (nombre d'Avogadro)\n- $35 \\times 10^7$ ✗ ($a = 35 \\geq 10$)",{"id":261,"tags":262,"question":263,"quick_answer":264,"details":265,"difficulty":55},"pu-009",[7,5,116,256],"Écris **0,00042** en notation scientifique.","$4{,}2 \\times 10^{-4}$","Méthode : déplacer la virgule pour obtenir un nombre entre 1 et 10, puis compter le décalage.\n\n$0{,}00042$ → virgule avance de **4 positions** → exposant $-4$\n\nGrand nombre : $3\\,800\\,000 = 3{,}8 \\times 10^6$ (virgule recule de 6 → exposant $+6$)",{"id":267,"tags":268,"question":269,"answer":270,"details":271,"difficulty":29},"pu-010",[7,5,116],"Piège : peut-on simplifier $2^3 \\times 5^4$ avec les règles des puissances ?","**Non.** Les règles $a^n \\times a^m = a^{n+m}$ et $\\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$ ne fonctionnent que pour des puissances de **même base**.","$2^3 \\times 5^4$ : bases différentes (2 et 5) → on ne peut **pas** additionner les exposants.\n\nIl faut calculer : $8 \\times 625 = 5000$\n\nMais : $2^3 \\times 2^4 = 2^7 = 128$ ✓ (même base)",{"id":273,"tags":274,"question":275,"quick_answer":276,"details":277,"difficulty":69},"pu-011",[7,5,116],"Simplifie : $\\frac{10^5 \\times 10^{-2}}{10^4}$","$10^{-1} = 0{,}1$","Étape par étape :\n\n$\\frac{10^5 \\times 10^{-2}}{10^4} = \\frac{10^{5+(-2)}}{10^4} = \\frac{10^3}{10^4} = 10^{3-4} = 10^{-1}$",{"id":279,"tags":280,"question":282,"answer":283,"details":284,"difficulty":48},"rac-001",[7,5,281],"racines-carrees","Qu'est-ce que la **racine carrée** $\\sqrt{a}$ ?","Le nombre **positif** dont le carré vaut $a$.\n\n$\\sqrt{a} = b \\iff b^2 = a$ (avec $b \\geq 0$)","$\\sqrt{25} = 5$ car $5^2 = 25$\n$\\sqrt{2} \\approx 1{,}414$ (nombre irrationnel)\n\n$\\sqrt{a}$ n'existe que pour $a \\geq 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\\sqrt{4 \\times 3} = \\sqrt{4} \\times \\sqrt{3} = 2\\sqrt{3}$\n\nCarrés parfaits à connaître : 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100",{"id":304,"tags":305,"question":306,"answer":307,"details":308,"difficulty":29,"customFail":309},"rac-005",[7,5,281],"Piège : $\\sqrt{a + b} = \\sqrt{a} + \\sqrt{b}$ ?","**NON !**\n\n$\\sqrt{a + b} \\neq \\sqrt{a} + \\sqrt{b}$","Vérification : $\\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5$\n\nMais $\\sqrt{9} + \\sqrt{16} = 3 + 4 = 7 \\neq 5$\n\nLa racine carrée ne se distribue **que sur la multiplication**, jamais sur l'addition.",[310],"√ se distribue sur × mais PAS sur +","ok",null,1784271473842]